Question

6．已知f（x）是定义在R上奇函数，又f（2）=0，若x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意设g（x）=xf（x）并求出g′（x），由条件和导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在（0，+∞）上的单调性，由f（x）是奇函数判断出g（x）是偶函数，根据条件、偶函数的性质、g（x）的单调性等价转化不等式xf（x）＞0，即可求出不等式的解集．

解答 解：由题意设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（x）是定义在R上奇函数，
∴g（x）是定义在R上偶函数，
又f（2）=0，则g（2）=2f（2）=0，
∴不等式xf（x）＞0为g（x）＞0=g（2），
等价于|x|＞2，解得x＜-2或x＞2，
∴不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性的性质以及判断，偶函数的单调性，以及导数与函数单调性的关系，考查构造法，转化思想，化简、变形能力．