Question

二次函数f(x)=ax²+x+1(a＞0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x₁、x₂。

（1）证明：(1+x₁)(1+x₂)=1；

（2）证明：x₁＜－1，x₂＜－1；

（3）若函数y=xf(x)在区间（－，－4）上单调递增，试求a的取值范围。

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

解析:

（1）由题意知x₁，x₂是一元二次方和ax²+x+1=0的两个实根，所以x₁+x₂=－，x₁x₂=

x₁+x₂=－x₁x₂，所以（1+x₁）（1+x₂）=1

（2）由方程ax²+x+1=0(a＞0)的判别式=1－4a＞0，解得0＜a＜.

所以y=ax²+x+1=0(a＞0)的图象的对称轴

x=－，且f(－1)=a＞0

所以二次函数y=ax²+x+1(a＞0)的图象与x轴两个交点都在－1点的左侧，

即x₁＜－1，x₂＜－1

（3）设g(x)=xf(x)=ax³+x²+x(0＜a＜)，

∴g’(x)=3ax²+2x+1＞0对x(－，－4)恒成立，

∴3a＞=－()²+1

又当x（－，－4）时，－()²+1＜ 

∴a≥，∴