Question

已知函数f(x)=

x2+x-a(x≥a) x2-x+a(x＜a)

，
（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）-x的零点；
（3）当0＜a＜1时，探讨函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可作出判断；
（2）函数h（x）的零点，即为方程h（x）=0的根，分x≥a，x＜a两种情况解方程即可；
（3）对f（x）配方，按照x≥a，x＜a进行讨论，其中x＜a时再分a≥

1

2

，0＜a＜

1

2

两种情况讨论，借助二次函数的图象即可得到f（x）的单调性；

解答：解：（1）当x=0时，f（x）=0，
当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=（-x）²-（-x）=x²+x=f（x），
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=f（x），
所以f（-x）=f（x），故f（x）为偶函数；
（2）当0＜a＜1时，
当x≥a时，方程f（x）-x=0即为x²-a=0，解得x=

a

，
当x＜a时，方程f（x）-x=0即为x²-2x+a=0，解得x=1-

1-a

，
综上所述，当0＜a＜1时，h（x）=f（x）-x的零点为

a

，1-

1-a

；
（3）当0＜a＜1时，
当x≥a时，f（x）=x2+x-a=(x+

1

2

)2-a-

1

4

，
由二次函数的大致图象可知：f（x）在[a，+∞）上是增函数，
当x＜a时，f（x）=(x-

1

2

)2+a-

1

4

，由二次函数的大致图象可知：
①a≥

1

2

时，f（x）在（-∞，

1

2

）上是减函数，在（

1

2

，a）上是增函数；
②当0＜a＜

1

2

时，由二次函数的大致图象可知：f（x）在（-∞，a）上是减函数，
综上所述，当x≥a时，f（x）在[a，+∞）上是增函数；当x＜a时，若a≥

1

2

，f（x）在（-∞，

1

2

）上是减函数，在（

1

2

，a）上是增函数；若0＜a＜

1

2

，f（x）在（-∞，a）上是减函数．

点评：考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的性质及函数的零点，考查分类讨论思想、数形结合思想及函数与方程思想，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力．