Question

20．已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x）+f（2），且x∈（0，2）时，f（x）=lnx，则函数f（x）在区间[-4，4]上有9个零点．

Answer 1

分析 先根据函数f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，再得出函数是以4为周期的函数，由此可得f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0，共有9个零点．

解答 解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）=0，即图象过原点，
所以有零点x=0，
又因为f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2得，
f（2）=f（-2）+f（2），
所以，f（-2）=0，
而f（-2）=f（-2+4）=f（2）=0，
所以有零点x=±2，如右图，
且f（x+4）=f（x），函数是以4为周期的函数，
当x∈（0，2）时，f（x）=lnx，单调递增，有零点x=1，
所以，f（3）=f（-1）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=0，
因此，当x∈（0，4]时，函数的零点依次为：1，2，3，4，
再根据对称性，函数共有零点9个．
故答案为：9．

点评 本题主要考查了函数零点的判断，涉及分段函数的奇偶性，单调性，周期性及其图象，属于中档题．