Question

5．已知函数f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x（x∈R）．
（1）若f（t-x）=f（t+x）且t∈（0，π），求实数t的值；
（2）记函数f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为b，且函数f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上单调递增，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦函数公式、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的对称轴方程求出f（x）的对称轴方程，结合条件求出t的值；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的最大值，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间，由条件求出a的范围和最小值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，
∵f（t-x）=f（t+x），
∴函数f（x）的对称轴是x=t=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，
∵t∈（0，π），∴t=$\frac{5π}{6}$；
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$取最大值是2，
即b=2，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]（k∈Z）$，
∵函数f（x）在[aπ，2π]（a＜2）上单调递增，
∴k=1时增区间是$[\frac{13π}{12}，\frac{17π}{12}]$，k=0时增区间是$[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$，
则$a≥\frac{13}{12}$，
∴实数a的最小值是$\frac{13}{12}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式，考查整体思想，化简、变形能力．