Question

已知关于x的函数f（x）=2ax²+2x-3-a，g（x）=b（x-1），其中a，b为实数．
（1）当a=1时，若对任意的x∈[2，10]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求b的取值范围；
（2）当a＞0时，若函数y=f（x）在区间[-1，1]有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题考查的是函数的最值问题与恒成立结合的综合类问题，在解答时，应先将不等式f（x）≥g（x）恒成立转化为求函数y=

2x2+2x-4

x-1

在区间[2，10]上的最小值，然后结合恒成立问题的特点即可获得问题的解答．
（2）由函数y=f（x）在区间[-1，1]有零点，得函数f（x）=2ax²+2x-3-a的图象在[-1，1]区间上与x轴有交点，作出函数f（x）=2ax²+2x-3-a的图象，利用其图象必过两定点．结合图象，得只须f（1）≥0即可，从而得出a的取值范围．

解答：解：（1）由题意可知：当a=1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立对任意x∈[2，10]恒成立，
即2x²+2x-4≥b（x-1）对任意x∈[2，10]恒成立，
也即：b≤

2x2+2x-4

x-1

，设x-1=t，则b≤2t+

6

t

，t∈[1，9]
只需要求函数y=2t+

6

t

在区间[1，9]上的最小值，
∵y=2t+

6

t

≥2

12

，当且仅当t=

3

时取等号
∴y_min=4

3

，
∴b的取值范围是：b≤4

3

．
（2）由函数y=f（x）在区间[-1，1]有零点，
得函数f（x）=2ax²+2x-3-a的图象在[-1，1]区间上与x轴有交点，
作出函数f（x）=2ax²+2x-3-a的图象，
其必过A（-

2

2

，-

2

-3），B（

2

2

，

2

-3）两点．如图，
结合图象，得只须f（1）≥0即可，
即2a×1²+2-3-a≥0⇒a≥1．
∴a的取值范围[1，+∞）．

点评：本题考查的是函数的最值问题与恒成立结合的综合类问题，在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想、二次函数求最值的方法和问题转化的能力．值得同学们体会和反思．