Question

已知数列{a_n}是等比数列，a₄=e，如果a₂，a₇是关于x的方程：两个实根，（e是自然对数的底数）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设：b_n=lna_n，S_n是数列{b_n}的前n项的和，当：S_n=n时，求n的值；
（3）对于（2）中的{b_n}，设：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n的最大值，及相应的n的值．

Answer 1

解：（1）∵a₂，a₇是关于x的方程：两个实根，
∴a₂a₇=
∴a₁²q⁷= ①
∵a₄=e，②
得a₁q⁴==a₅
∴q=e^-3
∴数列的通项是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13
（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，
∴数列{b_n}是一个等差数列
∴数列{b_n}的前n项的和S_n是=-，
∴S_n=n时，有，
∴n=7，n=0（舍去）
∴n=7即n的值为7．
（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5
∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，从第五项开始，这个数列的项就是负数，
∵T₁=280，
T₂=308
T₃=300
T₄=310
T₅一定小于T₄，
T₆一定小于T₅，依此类推
∴T_n的最大值310，相应的n的值是2．
分析：（1）根据数列的两项是一元二次方程根，根据根与系数的关系，表示出两个项的积，用首项和公比表示出来，同第四项作比，得到第五项，得到公比，写出数列的通项．
（2）构造出新数列，表示出新数列的通项，得到一个等差数列，根据等差数列的前n项和公式，表示出前n项和，使它等于n，解关于n的方程，得到结果．
（3）列举出数列{b_n}的前六项，进而列举出数列{c_n}的前四项，求出数列的前几项的和，观察出后面的项都是负数，只有前几项的和可能取得最大值，比较得到结果．
点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式及等差数列的前n项和，本题解题的关键是采用列举的方法对数列的前几项的和表示出来，进行分析，注意数字的运算不要出错，本题是一个中档题目．