Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的

2

倍，且椭圆C经过点M(2，

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=

8

3

上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：

OA

•

OB

为定值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程，利用长轴长是短轴长的

2

倍，且椭圆C经过点M(2，

2

)，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，利用数量积公式，结合直线与圆相切，即可得到结论．

解答：（1）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵长轴长是短轴长的

2

倍，
∴椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1
∵M(2，

2

)在椭圆C上
∴

4

2b2

+

2

b2

=1
∴b²=4
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±

2 6

3

与椭圆的两个交点为（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）
此时

OA

•

OB

=0；
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8k²-m²+4＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

∵l与圆x2+y2=

8

3

相切
∴d=

|m|

1+k2

=

8 3

∴3m²=8k²+8
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

3m2-8k2-8

1+2k2

=0
综上所述

OA

•

OB

=0为定值．

点评：本题考查椭圆的方程，考查数量积公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．