Question

过双曲线的一个焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，F₁是另一焦点，若∠PF1Q=

π

2

，则双曲线的离心率e等于

2

+1

．

Answer 1

分析：根据题意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成两个全等的等腰直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a=（

2

-1）c，即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：根据双曲线的对称性得|PF₁|=|QF₁|，
∵△PQF₁中，∠PF1Q=

π

2

，
∴△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成两个全等的等腰直角三角形
因此，Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=|PF₂|=2c，|PF₁|=

2

|F₁F₂|=2

2

c
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴2

2

c-2c=2a，可得a=（

2

-1）c
由此可得，双曲线的离心率e=

c

a

=

c

( 2 -1)c

=

2

+1
故答案为：

2

+1

点评：本题给出双曲线方程，在已知过右焦点的通径和左焦点构成直角三角形的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．