Question

12．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）当b=c＞0时，若函数f（x）的图象于x轴有两个不同的交点，其横坐标分别为x₁，x₂，求证：x₁＜-1且x₂＜-1；
（2）若对任意满足|x|≥2的实数x有f（x）≥0成立，且f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的最大值为1，试求b，c满足的条件．

Answer 1

分析 （1）先求出b的范围，再用分析法证明即可．
（2）欲对一切x∈R，有|x+$\frac{1}{x}$|≥2，可转化成对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0，求出$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$的值域，再研究函数f（x）在其值域范围内的单调性，求出最大值，建立等量关系，求出b，c满足的条件．

解答 解：（1）∵b=c＞0，所以f（x）=x²+bx+b，
因为函数f（x）的图象于x轴有两个不同的交点，
∴b²-4b＞0，解得b＞4，
∴x₁=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4b}}{2}$，x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4b}}{2}$，
要证，x₁＜-1且x₂＜-1，
只要证：$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4b}}{2}$＜-1且$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4b}}{2}$＜-1，
只要证：-b-$\sqrt{{b}^{2}-4b}$＜-2，且-b+$\sqrt{{b}^{2}-4b}$＜-2，
只要证：2-b＜$\sqrt{{b}^{2}-4b}$，且$\sqrt{{b}^{2}-4b}$＜b-2=$\sqrt{{b}^{2}-4b+4}$
∵b＞4，
∴2-b＜0，
∴2-b＜$\sqrt{{b}^{2}-4b}$，且$\sqrt{{b}^{2}-4b}$＜b-2，
∴x₁＜-1且x₂＜-1；
（2）因为|x+$\frac{1}{x}$|≥2，依题意，对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0．
①当f（x）=0有实根时，f（x）=0的实根在区间[-2，2]内，设f（x）=x²+bx+c，所以$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≥0}\\{f（2）≥0}\\{-2≤-\frac{b}{2}≤2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c≥0}\\{4+2b+c≥0}\\{-4≤b≤4}\end{array}\right.$，又$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$∈（2，3]，
于是，f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的最大值为f（3）=1，即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．
故$\left\{\begin{array}{l}{4-2b-3b-8≥0}\\{4+2b-3b-8≥0}\\{-4≤b≤4}\end{array}\right.$，解得b=-4，c=4．
②当f（x）=0无实根时，△=b²-4c＜0，由二次函数性质知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在区间的端点处取得，
所以，当f（2）＞f（3）时，f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）无最大值．
于是，f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）存在最大值的充要条件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的最大值为f（3）=1，
即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
综上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．

点评 本题主要考查了函数的单调性，以及函数恒成立问题和函数最值与几何意义，属于中档题．