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【题目】已知函数f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2(a∈R).

(1)如果函数g(x)的单调递减区间为,求函数g(x)的解析式;

(2)若不等式2f(x)≤+2恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)求出,由函数g(x)的单调递减区间为可得是方程的两根根据韦达定理可求得的值,从而可得结果;(2)原不等式恒成立,等价于恒成立,令,利用导数研究函数 的单调性,利用单调性求得h(x)最大值为-2,从而可得实数的取值范围.

试题解析:(1)g′(x)=3x2+2ax-1由题意3x2+2ax-1<0的解集是

即3x2+2ax-1=0的两根是-和1.

将x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1.

所以g(x)=x3-x2-x+2.

(2)2f(x)≤g′(x)+2对x∈(0,+∞)恒成立,

即:2xln x≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)恒成立,

可得a≥ln x-x-对x∈(0,+∞)恒成立,

设h(x)=ln x-,则h′(x)==-

令h′(x)=0,得x=- (舍)或x=1,

当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,

所以当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为-2,

所以a≥-2.

所以实数a的取值范围是[-2,+∞).

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(即可)或恒成立(即可);② 数形结合(图象在 上方即可);③ 讨论最值恒成立;④ 讨论参数.本题(2)是利用方法 ① 求得 的取值范围.

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将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷”.

(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为体育迷与性别有关?

非体育迷

体育迷

合计

10

55

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的体育迷人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).

附:.

P(K2k)

0.05

0.01

k

3.841

6.635

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