【题目】已知函数f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2(a∈R).
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为,求函数g(x)的解析式;
(2)若不等式2f(x)≤+2恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)求出,由函数g(x)的单调递减区间为可得是方程的两根,根据韦达定理可求得的值,从而可得结果;(2)原不等式恒成立,等价于对恒成立,令,利用导数研究函数 的单调性,利用单调性求得h(x)最大值为-2,从而可得实数的取值范围.
试题解析:(1)g′(x)=3x2+2ax-1由题意3x2+2ax-1<0的解集是,
即3x2+2ax-1=0的两根是-和1.
将x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1.
所以g(x)=x3-x2-x+2.
(2)2f(x)≤g′(x)+2对x∈(0,+∞)恒成立,
即:2xln x≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)恒成立,
可得a≥ln x-x-对x∈(0,+∞)恒成立,
设h(x)=ln x--,则h′(x)=-+=-,
令h′(x)=0,得x=- (舍)或x=1,
当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,
所以当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为-2,
所以a≥-2.
所以实数a的取值范围是[-2,+∞).
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(即可)或恒成立(即可);② 数形结合(图象在 上方即可);③ 讨论最值或恒成立;④ 讨论参数.本题(2)是利用方法 ① 求得 的取值范围.
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【题目】电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).
附:.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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【题目】由,,,排列而成的项数列满足:每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项.
()满足条件的数列中,写出所有的单调数列.
()当时,写出所有满足条件的数列.
()满足条件的数列的个数是多少?并证明你的结论.
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【题目】环境污染已经触目惊心,环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈。绵阳某化工厂每一天中污水污染指数与时刻(时)的函数关系为其中为污水治理调节参数,且
(1)若,求一天中哪个时刻污水污染指数最低;
(2)规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过,则调节参数应控制在什么范围内?
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【题目】已知函数f(x)=ln(ax+1)(x≥0,a>0), .
(1)讨论函数y=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0,+∞)时恒成立,求实数a的取值范围;
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【题目】已知函数,角的终边经过点.若是的图象上任意两点,且当时,的最小值为.
(1)求 或的值;
(2)求函数在上的单调递减区间;
(3)当时,不等式恒成立,求的最大值.
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