Question

对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（cx+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，则c的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：由函数f（x）与g（x）在某区间上接近的定义，得|f（x）-g（x）|≤1?|log2

cx+1

x

|≤1，进而可化为不等式恒成立问题，从而可解得答案．

解答：解：由已知可得，当x∈[1，2]时，|f（x）-g（x）|=|log₂（cx+1）-log₂x|≤1，
即|log2

cx+1

x

|≤1，x∈[1，2]，从而有

1

2

≤

cx+1

x

≤2，x∈[1，2]，
即

1

2

≤c+

1

x

≤2在∈[1，2]上恒成立，而

1

2

≤

1

x

≤1，
只要

c+1≤2 c+ 1 2 ≥ 1 2

即可，解得0≤c≤1．
故选A．

点评：本题以新定义为切入点，主要考查了函数的恒成立问题与函数最值的相互转化，考查分析新问题解决新问题的能力．