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    已知函数数学公式（x＞0，x≠1）．
    （1）求函数f（x）的极值；
    （2）若不等式数学公式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

    解：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），，…（3分）
    令f'（x）=0，解得x=e，列表
    x（0，1）（1，e）e（e，+∞）
    f'（x）--0+
    （0，1）单调递减单调递减极小值f（e）单调递增
    由表得函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，e），单调减区间为（e，+∞）；
    所以极小值为f（e）=e，无极大值．
    （2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；
    当x＞0时，在两边取自然对数，得，
    1°当0＜x≤1时，lnx≤0，当a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等价于，
    由（1）得，此时，不等式不恒成立．
    2°当x＞1时，lnx＞0，则a＞0，不等式等价于，由（1）得，此时的最小值为e，得0＜a＜e．…（14分）
    综上：a的取值范围是0＜a＜e．
    分析：（1）先确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数f（x）的极值；
    （2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；当x＞0时，在两边取自然对数，得，再分0＜x≤1，x＞1，进行讨论，进而可求a的取值范围．
    点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想，有综合性．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=alnx-
    1x
    ，a∈R    ．
    （I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
    （II）求函数f（x）的单调区间．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•嘉定区一模）已知函数f(x)=
    |x+m-1|x-2
    ，m＞0且f（1）=-1．
    （1）求实数m的值；
    （2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
    （3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
    ①有且仅有一个实数解；
    ②有两个不同的实数解；
    ③有三个不同的实数解．

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    科目：高中数学 来源：必修一教案数学苏教版 苏教版 题型：044

    已知函数f(x)＝loga(a＞0，a≠1)，

    (1)求函数f(x)的定义域；

    (2)判定函数f(x)的奇偶性；

    (3)求使f(x)＞0的x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：河北省正定中学2010届高三上学期第一次月考(数学文) 题型：044

    已知函数f(x)满足：对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)－f(x)－f(y)＋2成立，且x＞0时，f(x)＞2．

    (1)求f(0)的值，并证明：当x＜0时，1＜f(x)＜2；

    (2)判断f(x)的单调性并加以证明．

    (3)若函数g(x)＝|f(x)－k|在(－∞，0)上递减，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2013届黑龙江虎林高中高二下学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

    (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

    (2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

    【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

    由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

    第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

    ∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

    即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

    (1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

    由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

    (2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

    ∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

    令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    ∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

    ∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

    ∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

    ∴a的取值范围是

     

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