Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，PA=AD=2AB，E为线段AD上的一点，且．
（I）当BE⊥PC时，求λ的值；
（II）求直线PB与平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

解：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，则PA=AD=2，
又设|AE|=y，则：=（1，2，-2），
由=0，可得-1+2y=0，∴，
又∵，∴，
∴λ=…．（6分）
（II）由（I）知面PAC的法向量为
又因为
设PB与面PAC所成的角为α，则：，
∵
∴PB所求PB与面PAC所成的角的大小为：…．（12分）
分析：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据=0，，即可求得λ的值；
（II）确定面PAC的法向量为，，利用向量的夹角公式，即可求得直线PB与平面PAC所成的角．
点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查线面角，解题的关键是建立坐标系，正确表示向量．