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已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为,离心率,M是椭圆上的动点
(Ⅰ)若C,D的坐标分别是,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如题(20)图,点A的坐标为(1,0),B是圆x2+y2=1上的点,N是点M在x轴上的射影,点Q满足条件:、求线段QB的中点P的轨迹方程.

【答案】分析:(Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为(a>b>0).设,由准线方程.由此能够求出椭圆方程.从而得到点M的坐标为(±1,0)时上式取等号,|MC|•|MD|的最大值为4.
(II)设M(xm,ym),B(xB,yB)Q(xQ,yQ).因为,故xQ=2xN,yQ=yM,xQ2+yQ2=(2xM2+yy=4.因为,(1-xQ-yQ)•(1-xN-yn)=(1-xQ)(1-xN)+yQyN=0,所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1.由此可导出动点P的轨迹方程为
解答:解:(Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上,
故设椭圆方程为(a>b>0).
,由准线方程得.
,解得a=2,c=
从而b=1,椭圆方程为
又易知C,D两点是椭圆的焦点,
所以,|MC|+|MD|=2a=4
从而|MC|•|MD|
当且仅当|MC|=|MD|,
即点M的坐标为(±1,0)时上式取等号,|MC|•|MD|的最大值为4.
(II)如图(20)图,设M(xm,ym),B(xB,yB)Q(xQ,yQ).
因为
故xQ=2xN,yQ=yM,xQ2+yQ2=(2xM2+yy=4①
因为
(1-xQ-yQ)•(1-xN-yn
=(1-xQ)(1-xN)+yQyN=0,
所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1.②
记P点的坐标为(xP,yP),因为P是BQ的中点
所以2xP=xQ+xP,2yP=yQ+yP
由因为xN2+yN2=1,结合①,②得

=
==
故动点P的轨迹方程为
点评:本题考查圆锥曲线的综合应用,解题时要认真审题,仔细求解.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=
4
3
3
,离心率e=
3
2
,M是椭圆上的动点
(Ⅰ)若C,D的坐标分别是(0,-
3
),(0,
3
)
,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如题(20)图,点A的坐标为(1,0),B是圆x2+y2=1上的点,N是点M在x轴上的射影,点Q满足条件:
OQ
=
OM
+
ON
QA
BA
=0
、求线段QB的中点P的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=
5
5
,离心率e=
5

(Ⅰ)求该双曲线的方程;
(Ⅱ)如图,点A的坐标为(-
5
,0)
,B是圆x2+(y-
5
)2=1
上的点,点M在双曲线右支上,|MA|+|MB|的最小值,并求此时M点的坐标.

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科目:高中数学 来源:重庆市高考真题 题型:解答题

已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为,离心率e=
(Ⅰ)求该双曲线的方程;
(Ⅱ)如图,点A的坐标为,B是圆x2+(y-2=1上的点,点M在双曲线右支上,求|MA|+|MB|的最小值,并求此时M点的坐标。

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知以原点O为中心的椭圆,它的短轴长为,右焦点(c>0),它的长轴长为2a(a>c>0),直线与x轴相交于点A,,过点A的直线与椭圆相交于P.Q两点.

(Ⅰ) 求椭圆的方程和离心率;

(Ⅱ) 若,求直线PQ的方程;

(Ⅲ)设,过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M,证明:

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南师大附中高三(下)周周练数学试卷(解析版) 题型:解答题

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(Ⅱ)如题(20)图,点A的坐标为(1,0),B是圆x2+y2=1上的点,N是点M在x轴上的射影,点Q满足条件:、求线段QB的中点P的轨迹方程.

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