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精英家教网如图所示,有两条相交成60°的直线xx′、yy′,其交点是O,甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶,起初甲离O点30 km,乙离O点10 km,后来两车均以60 km/h的速度,甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶.
(1)起初两车的距离是多少?
(2)t小时后两车的距离是多少?
(3)何时两车的距离最短?
分析:(1)先设甲、乙两车最初的位置为A、B,将距离转化为向量问题,然后利用向量的数量积运算求甲乙两车的距离.
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q,则|
AP
|=60t,|
BQ
|=60t
.利用余弦定理可得即|
PQ
|
=10
108t2-36t+7
km.
(3)由(2)得关于PQ的表达式,通过利用二次函数可探讨其最大值.
解答:解:(1)设甲、乙两车最初的位置为A、B,精英家教网
|
AB
|2
=|(
OA
)
|2+|(
OB
)
|2-2|(
OA
)
||(
OB
)
|cos60°=700.
|
AB
|
=
700
km=10
7
km.
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q,
|
AP
|=60t,|
BQ
|=60t

0≤t≤
1
2
时,|
PQ
|2
=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60°;
t>
1
2
时,|
PQ
|2
=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120°.
上面两式可统一为|
PQ
|2
=10800t2-3600t+700,
|
PQ
|
=10
108t2-36t+7
km.
(3)因为|
PQ
|
=10
108t2-36t+7

故当t=
1
6
,即在第10分钟末时,两车距离最短,最短距离为20km.
点评:本题考查了向量在物理中的应用及余弦定理,通过设点将物理问题转化为数学问题,灵活的考查了学生分析问题解问题的能了,是个中档题.
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(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离?
(3)什么时候两人的距离最短?

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(1)起初两人的距离是多少?
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⑴起初,两人的距离是多少?

⑵用包含的式子表示小时后两人的距离;

⑶什么时候两人的距离最短?

 

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