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对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R.
(1)求函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点;
(2)函数f(x)=ax3+(b-2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥-x2+4x-2恒成立?
(3)试写出函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件(不用证明);利用所学知识,研究函数f(x)=ax3+bx2(a,b∈R)图象的对称性.

解:(1)解:设A(m,n)为函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点,则f(m-x)+f(m+x)=2n,对于x∈R恒成立.即(m-x)3+3(m-x)2+(m+x)3+3(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,
∴(6m+6)x2+(2m3+6m2-2n)=0由解得:
故函数f(x)图象的一个对称点为(-1,2).
(2)①因为函数是奇函数,则由f(-x)=-f(x)得:-ax3+(b-2)x2=-ax3-(b-2)x2,解得a∈R,b=2;
②当a∈R,b=2时f(x)是奇函数.不存在常数a使f(x)≥-x2+4x-2x∈[-1,1]时恒成立.
依题,此时f(x)=ax3令g(x)=-x2+4x-2x∈[-1,1]∴g(x)∈[-7,1]若a=0,f(x)=0,不合题;
若a>0,f(x)=ax3此时为单调增函数,f(x)min=-a.
若存在a合题,则-a≥1,与a>0矛盾.
若a<0,f(x)=ax3此时为单调减函数,
f(x)min=a若存在a合题,则a≥1,与a<0矛盾.
综上可知,符合条件的a不存在.
(3)函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f(m+x)=f(m-x)
①a=b=0时,f(x)=0(x∈R),其图象关于x轴上任意一点成中心对称;关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形;
②a=0,b≠0时,f(x)=bx2(x∈R),其图象关于y轴对称图形;
③a≠0,b=0时,f(x)=ax3,其图象关于原点中心对称;
④a≠0,b≠0时,f(x)=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形.
设A(m,n)为函数f(x)=ax3+bx2图象的一个对称点,则f(m-x)+f(m+x)=2n对于x∈R恒成立.即a(m-x)3+b(m-x)2+a(m+x)3+b(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,(3am+b)x2+(am3+bm2-n)=0
由,由解得
故函数f(x)图象的一个对称点为(-).
分析:(1)因为点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R.可设A(m,n)为f(x)的一个对称点则得到f(m-x)+f(m+x)=2n成立即可解出m和n;
(2)根据函数是奇函数可知f(-x)+f(x)=0得a、b的值;把ab代入的f(x)的解析式让f(x)≥-x2+4x-2推出矛盾即可说明不存在;
(3)函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件是f(m+x)=f(m-x);分析函数f(x)=ax3+bx2(a,b∈R)图象的对称性.f(m+x)+f(m-x)=2m可求出对称点的坐标.
点评:考查学生应用函数奇偶性的能力,奇偶函数图象的对称性研究能力,理解函数恒成立问题的能力.
练习册系列答案
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16、对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若二次函数f(x)=x2+ax+1没有不动点,则实数a的取值范围是
-1<a<3

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对于定义在R上的函数f(x),下列判断正确的是(  )
①若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数;
②若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数;
③若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数;
④若f(0)=0,则f(x)是奇函数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•眉山一模)对于定义在R上的函数f(x),有下述命题:
①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;
②若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;
③若对x∈R,有f(x)=f(2-x),则函数f(x)关于直线x=1对称;
④若对x∈R,有f(x+1)=-
1f(x)
,则f(x)的最小值正周期为4.
其中正确命题的序号是
①②③
①②③
.(填写出所有的命题的序号)

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(2013•德州二模)若对于定义在R上的函数f(x),存在常数t(t∈R),使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x均成立,则称f(x)是阶回旋函数,则下面命题正确的是(  )

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