【题目】已知椭圆C的焦点在x轴上,离心率等于 ,且过点(1, ). (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若 =λ1 , =λ2 ,求证:λ1+λ2为定值.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C的焦点在x轴上,∴设椭圆C的方程为 =1(a>b>0), ∵离心率等于 ,且过点(1, ),
∴ ,解得 ,
∴椭圆C的标准方程为 .
证明:(Ⅱ)设点A,B,M的坐标分别为A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(0,y0),
又由题意知F点的坐标为F(2,0),直线l存在斜率,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程是y=k(x﹣2),
联立 ,消去y并整理得(1+5k2)x2﹣20k2x+20k2﹣5=0,
∴ , ,
又∵ , = ,
将各点坐标代入得 , ,
∴
=
= =﹣10
【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为 =1(a>b>0),由离心率等于 ,且过点(1, ),列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的标准方程.(Ⅱ)设直线l的方程是y=k(x﹣2),与椭圆联立,得(1+5k2)x2﹣20k2x+20k2﹣5=0,由此利用韦达定理、向量相等,结合已知条件能证明λ1+λ2为定值.
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【题目】已知偶函数f(x)在[﹣1,0]上为单调增函数,则( )
A.f(sin )<f(cos )
B.f(sin1)>f(cos1)
C.f(sin )<f(sin )
D.f(sin )>f(tan )
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(1)写出曲线, 的普通方程;
(2)过曲线的右焦点作倾斜角为的直线,该直线与曲线相交于不同的两点,求的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求证:平面PAB∥平面EFG;
(2)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,并给出证明;
(3)求出D到平面EFG的距离.
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【题目】已知函数f(x)= (x∈R)
(1)用定义证明f(x)是增函数;
(2)若g(x)=f(x)﹣a是奇函数,求g(x)在(﹣∞,a]上的取值集合.
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【题目】已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],g(x)=[f(x)]2+f(x2),
(1)求g(x)的定义域;
(2)求g(x)的最大值以及g(x)取最大值时x的值.
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