Question

规定A_x^m=x（x-1）（x-2）•…•（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．
函数f（x）=aA_x+1³+3bA_x²+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）是否存在正整数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1=ax³+3bx²-（a+3b）x+1，
∴f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴
∴f（x）=6x³-12x²+6x+1．
（2）∵f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1）
由f'（x）＞0得，x＞1或x＜，即f（x）在（1，+∞）和（-∞，）上单调递增，
由f'（x）＜0得，＜x＜1，即f（x）在（，1）上单调递减．
（3）方程等价于18x³-36x²+19=0．
令g（x）=18x³-36x²+19．
则g'（x）=54x²-72x=18x（3x-4）令g'（x）=0得x=0或x=．
当x∈（0，）时，g'（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
当x∈（，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
∵g（1）=1＞0，g（）=-＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在区间（1，），（，2）内分别有唯一实根．
∴存在正整数m=1使得方程在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数跟．
分析：（1）先利用定义求出f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1，再利用x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为求出a，b即可；
（2）先求导函数，利用导函数大于0的区间为原函数的增区间，以及导函数小于0的区间为原函数的减区间即可求f（x）的单调区间；
（3）先把方程等价于g（x）=18x³-36x²+19=0．在求出g（x）的导函数，判断出g（x）的图象变化规律，再利用零点存在性定理即可判断是否存在正整数m满足要求．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合应用以及利用导数研究函数的单调性和平面向量的有关知识．是对知识的一个大汇总，属于有难度的题．