Question

（1）已知关于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值；
（2）已知|x|＜1，|y|＜1，求证：|1-xy|＞|x-y|．

Answer 1

分析：（1）通过“凑”，利用条件x＞a 将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件，利用基本不等式就可求解．
（2）要证|1-xy|＞|x-y|即证|1-xy|²-|x-y|²＞0，通过化简很快问题得证．

解答：解：（1）∵2x+

2

x-a

≥7，∴2（x-a）+

2

x-a

≥7-2a
7-2a≤4，∴a≥

3

2

，
故实数a的最小值为

3

2

（2）因为|1-xy|²-|x-y|²=（1-a²）（1-b²）＞0，
∴|1-xy|＞|x-y|得证．

点评：本题考查了函数的最值问题以及证明不等式，常用的转化方法有分离系数法、换元法等．