Question

若曲线C上的点到直线x=-2的距离比它到点F（1，0）的距离大1，
（1）求曲线C的方程．
（2）过点F（1，0）作倾斜角为135⁰的直线交曲线C于A、B两点，求AB的长
（3）过点F（1，0）作斜率为k 的直线交曲线C于M、N 两点，求证：

1

|MF|

+

1

|NF|

为定值．

Answer 1

分析：（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，由此能求出其方程．
（2）由

y=-(x-1) y2=4x

，得y²+4y-4=0，y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能求出|AB|= 

2

•

32

=8．
（3）

y2=4x y=k(x-1)

，y2-

4

k

y-4=0，设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），y3+y4=

4

k

，y3y4=-4，由此能求出

1

|MF|

+

1

|NF|

为定值．

解答：解：（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，其方程是y²=4x．
（2）由

y=-(x-1) y2=4x

，得y²+4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴|AB|= 

2

•

32

=8．
（3）

y2=4x y=k(x-1)

，∴y2-

4

k

y-4=0，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），y3+y4=

4

k

，y3y4=-4，
∴

1

|MF|

+

1

|NF|

=

1

x3+1

+

1

x4+1

=

x3+x4+2

x3x4+x3+x4+1

=

x3+x4+2

y32 4 •  y42 4 +x3+x4+1

=

x3+x4+2

x3+x4+2

=1，
∴

1

|MF|

+

1

|NF|

为定值．

点评：本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意培养解题技巧，提高解题能力．