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【题目】已知数列满足:且对一切,均有

1)求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式;

2)求数列的前项和

3)设,记数列的前项和为,求正整数,使得对任意,均有

【答案】1)证明见解析;(2;(3

【解析】

1)在等式两边同时除以,可得出,利用等差数列的定义可证明出数列为等差数列,求出数列的通项公式,可得出数列的通项公式;

2)先求出的值,由时,由,可得出,两式相除可得出的表达式,再对是否满足的表达式,即可得出数列的通项公式,再利用等比数列的求和公式求出

3)令,利用数列的单调性求出满足的最大整数的值为,即可得出结论.

1)由

两边除以,得,即,所以,数列为等差数列.

,所以,

2)当时,.

对任意的,则

时,由可得

两式相除得

满足,所以,对任意的

即数列是公比为的等比数列,且首项为,因此,

3,令,即,即

构造数列,则

时,则有,即

时,

时,,即,可得.

所以,数列最大项的值为,又

时,.

所以,当时,,此时;当时,,此时.

综上所述,数列中,最大,因此,.

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【题目】关于函数,下列说法正确的是( )

1的极小值点;

2)函数有且只有1个零点;

3恒成立;

4)设函数,若存在区间,使上的值域是,则.

A.(1) (2)B.(2)(4)C.(1) (2) (4)D.(1)(2)(3)(4)

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【题目】抛物线的方程为,过抛物线上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线两点(三点互不相同),且满足

1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;

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【题目】某高中三年级有AB两个班,各有50名同学,这两个班参加能力测试,成绩统计结果如表:

AB班成绩的频数分布表

分组

[5060)

[6070)

[7080)

[8090)

[90100]

A班频数

4

8

23

9

6

B班频数

7

12

13

10

8

1)试估计AB两个班的平均分;

2)统计学中常用M值作为衡量总体水平的一种指标,已知M与分数t的关系式为:M.

分别求这两个班学生成绩的M总值,并据此对这两个班的总体水平作简单评价.

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【题目】如图,圆与长轴是短轴两倍的椭圆:相切于点

(1)求椭圆与圆的方程;

(2)过点引两条互相垂直的两直线与两曲线分别交于点与点(均不重合).为椭圆上任一点,记点到两直线的距离分别为,求的最大值,并求出此时的坐标.

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【题目】已知数列满足:,且对一切,均有.

1)求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式;

2)若,求数列的前n项和

3)设),记数列的前n项和为,问:是否存在正整数,对一切,均有恒成立.若存在,求出所有正整数的值;若不存在,请说明理由.

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【题目】已知椭圆的中心为,一个方向向量为的直线只有一个公共点

1)若且点在第二象限,求点的坐标;

2)若经过的直线垂直,求证:点到直线的距离

3)若点在椭圆上,记直线的斜率为,且为直线的一个法向量,且的值.

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【题目】设点E,F分别是棱长为2的正方体的棱AB,的中点.如图,以C为坐标原点,射线CDCB分别是xyz轴的正半轴,建立空间直角坐标系.

(1)求向量的数量积;

(2)若点M,N分别是线段与线段上的点,问是否存在直线MN,平面ABCD?若存在,求点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于AB两点.

1)求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程;

2)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线mx轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值.

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