Question

如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按逆时针方向排列），求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：先建立适当的极坐标系：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，将直线x=5的极坐标方程为ρcosθ=5，再设A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），最后利用题设条件建立ρ，θ的关系式即得点P的极坐标的轨迹方程．

解答： 解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的极坐标方程为ρcosθ=5，
设A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），
因点A在直线ρcosθ=5上，故ρ₀cosθ₀=5，（1）
又因三角形OPA为等腰三角形，且∠OPA为120°，而|OP|=ρ，|OA|=ρ₀，
以及∠POA为30°，∴ρ₀=

3

ρ，且θ₀=θ-30°，（2）
把（2）代入（1）得，
点P的极坐标的轨迹方程

3

ρcos（θ-30°）=5．

点评：考查学生极坐标与直角坐标的转化，以及怎样求点的轨迹方程的方法．属于基础题．