Question

15．在等比数列{a_n}中，a₁=1，记S_n为{a_n}的前n项和，T_n为数列{a_n³}的前n项和，若S_3n=7T_n，则公比q的值为-3或2．

Answer 1

分析 由题意可得等比数列{a_n}的公比，可求S_3n，可判数列{a_n³}是1为首项q³为公比的等比数列，可得T_n，代入已知可解q值．

解答 解：∵等比数列{a_n}中a₁=1，a_n=q^n-1．
则a_n³=（q^n-1）³=（q³）^n-1，
即数列{a_n³}是1为首项q³为公比的等比数列，
∴S_3n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-{q}^{3}}$=$\frac{1-{q}^{3n}}{1-{q}^{3}}$，
T_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{3n}}{1-q}$，
由S_3n=7T_n可得$\frac{1-{q}^{3n}}{1-{q}^{3}}$=7×$\frac{1-{q}^{3n}}{1-q}$，
即1-q³=7（1-q），
即1+q+q²=7，
则q²+q-6=0．
解得q=2或q=-3，
故答案为：-3或2

点评 本题考查等比数列的求和公式，考查学生的运算能力．