Question

6．已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，
（1）当a=4时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，求f（x）在区间（1，$\frac{9}{2}$）上最值；
（3）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）将a=4代入函数的解析得出f（x）=x|x-4|，将其变为分段函数，利用二次函数的图象与性质研究其单调性即可
（2）当a=4时，根据函数的图象和单调性，进行求解即可求最值．
（3）a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值说明在函数最值不在区间端点处取得，在这个区间内必有两个极值，由函数的性质确定出极值，由于极值即为最值，故可借助函数的图象得m、n的取值范围．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{x（z-4），}&{x≥4}\\{x（4-x），}&{x＜4}\end{array}\right.$，对应的图象为：
由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，2]，[4，+∞）（开区间不扣分）
（2）因为a＞2，x∈[1，2]时，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=$-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$
当1＜$\frac{a}{2}$≤$\frac{3}{2}$，即2＜a≤3时，f（x）_min=f（2）=2a-4
当$\frac{a}{2}$$＞\frac{3}{2}$，即a＞3时，f（x）_min=f（1）=a-1
∴$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2a-4，2＜a≤3\\ a-1，a＞3\end{array}\right.$
当a=4时，函数f（x）在区间（1，2]上递增，则[2，4]上递减，则[4，$\frac{9}{2}$）上递增，
∵f（2）=4，f（4）=0，
∴此时函数的最大值为4，最小值为0．
（Ⅲ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（x-a），x≥a\\ x（a-x），x＜a\end{array}\right.$

①当a＞0时，图象如上图左所示
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a^2}{4}\\ y=x（x-a）\end{array}\right.$得$x=\frac{{（\sqrt{2}+1）a}}{2}$
∴$0≤m＜\frac{a}{2}$，$a＜n≤\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}a$
②当a＜0时，图象如上图右所示
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{a^2}{4}\\ y=x（a-x）\end{array}\right.$得$x=\frac{{（1+\sqrt{2）}}}{2}a$
∴$\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}a≤m＜a$，$\frac{a}{2}＜n≤0$

点评 本题考点是函数的最值及其几何意义，综合考查了二次函数的图象，最值等知识以及配方法求最值的技巧．解题时数形结合，转化灵活，综合性很强．