Question

已知f（x）=2x-

1

2

x²，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（I）过P（0，2）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程；
（II）设h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数y=h′（x）存在零点，求实数a的值．

Answer 1

分析：（I）把点P的坐标代入f（x）中，判断得到点P不在曲线y=f（x）上，然后设出切点坐标，求出f（x）的导函数，把横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，把切点横坐标代入f（x）中得到切点的纵坐标，确定出切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（II）由h（x）在x大于0是减函数，得到导函数小于等于0恒成立，由x大于0得到

1

xlna

≥2x-x²在x＞0恒成立，利用x的范围求出2x-x²的最大值，进而得到

1

xlna

大于等于求出的最大值，化简后得到一个关系式，记作①，又导函数y=h′（x）存在零点，得到lna•x²-2lna•x+1=0有正根，即根的判别式大于等于0，，列出关于lna的不等式，求出不等式的解集，记作②，由①②即可得到lna的值，进而得到a的值．

解答：解：（I）∵f（0）=0，∴P（0，2）不在曲线y=f（x）上，设切点为Q（x₀，y₀），
∵f′（x）=2-x，∴k=f′（x₀）=2-x₀，且y₀=f（x₀）=2x₀-

x02

2

，
∴切线方程为：y-2x₀+

x02

2

=（2-x₀）（x-x₀），即y=（2-x₀）x+

x02

2

，
∵（0，2）在切线上，代入可得：x₀=±2，
∴切线方程为y=2或y=4x+2；
（II）h（x）=2x-

1

2

x²-log_a^x在（0，+∞）递减，
∴h′（x）=2-x-

1

xlna

≤0在x＞0恒成立，
∵x＞0，∴

1

xlna

≥2x-x²在x＞0恒成立，
由x＞0，得到2x-x²∈（-∞，1]，∴

1

xlna

≥1，即0＜lna≤1①，
又h′（x）=2-x-

1

xlna

存在零点，即方程lna•x²-2lna•x+1=0有正根，
∴△=4ln²a-4lna≥0，∴lna≥1或lna＜0②，
由①②，得lna=1，∴a=e．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负判断函数的增减性，掌握不等式恒成立时满足的条件，是一道中档题．