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已知椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e=
2
3
,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点,且满足
AC
=2
CB

(Ⅰ)用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;
(Ⅱ)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.
分析:(Ⅰ)设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),直线的方程为y=k(x+1),由e=
c
a
=
2
3
可得a,b之间的关系,由
AC
=2
CB
,得(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),结合二次方程有根及方程的根与系数的关系及S=
1
2
|y1-y2|代入可求;
(Ⅱ)由(I)可得S△AOB=
3|k|
3k2+1
=
3
3|k|+
1
|k|
,结合基本不等式可求
解答:解:(Ⅰ)设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),直线的方程为y=k(x+1)
由e=
c
a
=
2
3
∴a2=3b2
故椭圆方程x2+3y2=3b2                                 …(1分)
设A(x1,y1)、B(x2,y2)),由
AC
=2
CB

得(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2
可得
x1+1=-2(x2+1)        …①
y1=-2y2                   …②
…(2分)
x2+3y2=3b2
y=k(x+1)
消去y整理(1+3k2)x2+6k2x+3(k2-b2)=0(3分)
                              
由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点?
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-3b2)>0         …③
x1+x2=-
6k2
3k2+1
                                  …④
x1x2=
3k2-3b2
3k2+1
                                    …⑤
…(4分)
而S△OAB=
1
2
|y1-y2|=
1
2
|-2y2-y2|=
3
2
|y2|=
3
2
|k(x2+1)|⑥…(6分)
由①④得:x2+1=-
2
3k2+1
,代入⑥得:S△OAB=
3|k|
3k2+1
(k≠0)
    …(7分)
(Ⅱ)因S△OAB=
3|k|
3k2+1
=
3
3|k|+
1
|k|
3
2
3
=
3
2
,…(8分)
当且仅当k=±
3
3
,S△OAB取得最大值,…(9分)
此时x1+x2=-1,又由①得
x1+2x2
3
=-1
∴x1=1,x2=-2                                               …(10分)
将x1,x2及k2=
1
3
代入⑤得3b2=5,满足△>0                      …(11分)
∴椭圆方程为x2+3y2=5                                    …(12分)
点评:本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程,直线与椭圆的相交的位置关系的应用,方程的根与系数的关系的应用,属于综合性试题
练习册系列答案
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(Ⅰ)用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;

(Ⅱ)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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=2
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(Ⅱ)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.

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已知椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e=,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点,且满足
(Ⅰ)用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;
(Ⅱ)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.

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科目:高中数学 来源:吉林省实验中学09-10学年高二上学期期中考试(理) 题型:解答题

 

已知椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点,且满足.?

   (Ⅰ)用直线l的斜率kk≠0)表示△OAB的面积;

   (Ⅱ)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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