Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅲ）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求T₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根据点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上，所以点的坐标满足直线的方程，有所给的前两项的值算出点的坐标，代入求解．
（2）由数列的前n项和求通项的问题，考虑的思路一般是，仿写相减，变前n项和的关系为a_n之间的关系，发现数列是等比数列．
（3）由等比数列前n项和公式，写出s_n，题目把它当做通项，求它的前十项的和，用等比数列求和公式即可．

解答：解：（1）S_n+1=k•S_n+1，令n=1有，S₂=k•S₁+1，∴a₁+a₂=k•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有k=2．
（2）∵S_n+1=2S_n+1，∴S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
两式相减有，a_n+1=2a_n，即，

an+1

an

=2．且

a2

a1

=2符合．
∴{a_n}为公比为2的等比数列．
(3)Sn=

1-2n

1-2

=2n-1
∴T10=(2+22+23++210)-10=

2(1-210)

1-2

-10=2036.

点评：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题．同时也要理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题．