【题目】某校高三共有900名学生,高三模拟考之后,为了了解学生学习情况,用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩,按成绩分组,制成如下的频率分布表:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第二组 | 第四组 |
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 6 | 4 | 22 | 20 |
频率 | 0.06 | 0.04 | 0.22 | 0.20 |
组号 | 第五组 | 第六组 | 第七组 | 第八组 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 18 | a | 10 | 5 |
频率 | b | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
(1)若频数的总和为c,试求a,b,c的值;
(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生,在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈,令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(3)估计该校本次考试的数学平均分.
【答案】
(1)解:因为频率和为1,所以b=0.18,
又因为频率= ,所以c=100,a=15.
(2)解:第六、七、八组共有30个样本,用分层抽样方法抽取6名学生,则每个学生被抽中的概率均为 .
所以从第七组中抽取的样本数为 ×10=2.
所以随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)= = ,
P(ξ=1)= = ,
P(ξ=2)= = .
∴随机变量ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
所以E(ξ)=0× +1× +2× = .
(3)解:根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为:
75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.
【解析】(1)由频率= ,能求出a,b,c的值.(2)第六、七、八组共有30个样本,用分层抽样方法抽取6名学生,则每个学生被抽中的概率均为 .从第七组中抽取的样本数为 ×10=2.从而随机变量ξ的可能取值为0,1,2.分别求出相应的概率,由此能求出随机变量ξ的分布列和E(ξ).(3)根据频率分布表能估计该校本次考试的数学平均分.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平均数、中位数、众数的相关知识,掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量;⑵平均数、众数和中位数都有单位;⑶平均数反映一组数据的平均水平,与这组数据中的每个数都有关系,所以最为重要,应用最广;⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响;⑸众数与各组数据出现的频数有关,不受个别数据的影响,有时是我们最为关心的数据,以及对离散型随机变量及其分布列的理解,了解在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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【题目】数列{an}是公比为q(q>1)的等比数列,其前n项和为Sn . 已知S3=7,且3a2是a1+3与a3+4的等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)设bn= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2),求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族.对于集合{1,2,3…n}的一个子集族D满足如下条件:若A∈D,BA,则B∈D,则称子集族D是“向下封闭”的. (Ⅰ)写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时 的值(其中|A|表示集合A中元素的个数,约定||=0; 表示对子集族D中所有成员A求和);
(Ⅱ)D是集合{1,2,3…n}的任一“向下封闭的”子集族,对A∈D,记k=max|A|, (其中max表示最大值),
(ⅰ)求f(2);
(ⅱ)若k是偶数,求f(k).
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【题目】设数列{an},其前n项和Sn=﹣3n2 , {bn}为单调递增的等比数列,b1b2b3=512,a1+b1=a3+b3 .
(1)求数列{an},{bn}的通项;
(2)若cn= ,数列{cn}的前n项和Tn , 求证: <1.
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【题目】设f(x)=|ax﹣1|. (Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[﹣6,2],求实数a的值;
(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)﹣f(x﹣1)≤7﹣3m成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知双曲线C以F1(﹣2,0)、F2(2,0)为焦点,且过点P(7,12).
(1)求双曲线C与其渐近线的方程;
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且 (O为坐标原点).求直线l的方程.
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【题目】已知函数h(x)=ax3﹣1(a∈R),g(x)=lnx,f(x)=h(x)+3xg(x)(e为自然对数的底数).
(I)若f(x)图象过点(1,﹣1),求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)在区间( ,e)上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围;
(III)函数F(x)=(a﹣ )x3+ x2g(a)﹣h(x)﹣1,当a>e 时,函数F(x)过点A(1,m)的切线至少有2条,求实数m的值.
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【题目】设F1 , F2是椭圆 (0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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