Question

【题目】已知椭圆E： + =1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为 + =1，A（﹣2，0），

直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得x=﹣2或x=﹣ ，则|AM|= |2﹣ |= ，

由AN⊥AM，可得|AN|= = ，

由|AM|=|AN|，k＞0，可得 = ，

整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，

即有△AMN的面积为 |AM|2= （ ）2= ；

方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，

由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，

代入椭圆方程 + =1，可得7x2+16x+4=0，

解得x=﹣2或﹣ ，M（﹣ ， ），N（﹣ ，﹣ ），

则△AMN的面积为 × ×（﹣ +2）= ；

（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+ ），代入椭圆方程，

可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0，

解得x=﹣ 或x=﹣ ，

即有|AM|= | ﹣ |= ，

|AN|═ = ，

由2|AM|=|AN|，可得2 = ，

整理得t= ，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有 ＞3，即有 ＜0，

可得 ＜k＜2，即k的取值范围是（ ，2）．

【解析】（1）法一：当t=4时，椭圆方程和顶点坐标确定。设直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程联立方程组接得x的值。又由|AM|=|AN|=整理可得k=1,所以。法二：运用椭圆的对称性得到直线AM的斜率为1，将直线AM的方程代入椭圆方程，得到M,N点坐标，即可求三角形的面积。
（2）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程得到x的值。即可得|AM|，|AN|。又由2|AM|=|AN|，可得t。结合椭圆得到k的范围。