Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m为常数，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b1=a1，bn=

3

2

f(bn-1)，(n∈N*，n≥2)，求证：{

1

bn

}为等差数列，并求b_n；
（3）设数列{c_n}满足c_n=b_n•b_n+2，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0，所以(3-m)a1+2ma1-m-3=0?a1=

m+3

m+3

=1，故（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0，由此能求出a_n．
（2）由q=

2m

m+3

，b1=a1=1，bn=

3

2

f(bn-1)=

3

2

×

2bn-1

bn-1+3

，得

1

bn

=

1

bn-1

+

1

3

，由此能得到{

1

bn

}为等差数列，并能求出b_n．
（3）由cn=bn•bn+2=

3

n+2

•

3

n+4

＞0，n∈N*，知T_n为数列{c_n}的前n项和，Tn≥T1=c1=

3

5

，由此能求出T的最大值．

解答：解：（1）由题设，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0①（1分）
∴(3-m)a1+2ma1-m-3=0?a1=

m+3

m+3

=1（2分）
由①，n≥2时，（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0②（3分）
①-②得，(3-m)an+2m(an-an-1)=0?an=

2m

m+3

an-1，（4分）
∴an=(

2m

m+3

)n-1．（5分）
（2）由（1）知q=

2m

m+3

，b1=a1=1，bn=

3

2

f(bn-1)=

3

2

×

2bn-1

bn-1+3

，
化简得：

1

bn

=

1

bn-1

+

1

3

（7分）
∴{

1

bn

}是以1为首项、

1

3

为公差的等差数列，（8分）
∴

1

bn

=1+(n-1)×

1

3

=

n+2

3

∴bn=

3

n+2

．（10分）
（3）由（2）知cn=bn•bn+2=

3

n+2

•

3

n+4

＞0，n∈N*．T_n为数列c_n的前n项和，因为c_n＞0，
所以T_n是递增的，Tn≥T1=c1=

3

5

．（12分）
所以要满足T_n≥T，（n∈N*），∴T≤T1=

3

5

（13分）
所以T的最大值是

3

5

（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和等差数列的证明，考查数列前n项和最小值最大是多少．解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．