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已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线两点.证明:以线段为直径的圆恒过轴上的定点.
解:(1)由题意可知, ,  而,   且.      解得
所以,椭圆的方程为.                                         
(2)由题可得.设,                                
直线的方程为,                                       
,则,即;                  
直线的方程为,                                         
,则,即;                  
证法一:设点在以线段为直径的圆上,则,            
,                                 

,即
.                             
所以以线段为直径的圆必过轴上的定点.          
证法二:以线段为直径的圆为
                          
,得,                         
,而,即
.                               
所以以线段为直径的圆必过轴上的定点.           
解法3:令,则,令,得            
同理,.                                                     
∴以为直径的圆为                                   
时,.
∴圆过                                              
,   直线的方程为,                                         
,则,即;                   
直线的方程为
,则,即;                  
   ∴在以为直径的圆上.
同理,可知也在为直径的圆上.  ∴定点为  
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