Question

已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）满足：（1）当0＜x≤10时销售收入与生产服装的平方成一次关系，x=3千件时销售收入为10.5万元；x=9千件时销售收入为8.1万元．（2）当x＞10时销售收入与生产服装的关系式为．
（1）写出年利润W（万元）关于年出品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公式在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

Answer 1

解：（1）∵当0＜x≤10时销售收入与生产服装的平方成一次关系
∴可设R（x）=kx²+b
∵x=3千件时销售收入为10.5万元；x=9千件时销售收入为8.1万元
∴
∴b=10.8，
∴当0＜x≤10时，销售收入与生产服装的关系式为
∴0＜x≤10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；
当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．
∴W=
（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，
且当x∈（0，9）时，W'＞0；
当x∈（9，10）时，W'＜0，
∴当x=9时，W取最大值，且
②当x＞10时，
当且仅当，即x=时，W=38，
故当x=时，W取最大值38．
综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．