Question

【题目】如图，的边边所在直线的方程为 满足,点在边所在直线上且满足．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求的外接圆的方程；

（III）若点的坐标为,其中为正整数。试讨论在的外接圆上是否存在点使得成立？说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.

【解析】

（I）由又在上且，得AC⊥AB，结合T点坐标及直线AB的斜率，可求出AC边所在直线的方程；（II）结合（I）中结论，直线AB,AC的方程联立，得点A；由B、C两点关于M点对称，得△ABC的外接圆是以M为圆心，以AM为半径的圆；（III）若在△ABC的外接圆上存在点P，使得|PN|＝|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在点P；当L与圆M相交或相切时则存在点P．设N点坐标，点N到直线距离d与半径r=比较，即可得到结论．

解: （I）

∴，又在上 ∴，为,

又边所在直线的方程为，，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．即．

（II）与的交点为，所以由解得点的坐标为，

∵∴

∴为斜边上的中点。即为外接圆的圆心

又．

从外接圆的方程为: ．

（III）由，,知的斜率为，线段的中点为

线段的垂直平分线为 即

圆的圆心到直线的距离为

i)当时，，而，由,此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P.

ii)当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点P.

iii)当时，

∴，此时直线与圆相离，不存在满足条件的点.

综上：当n=1或2时，存在点P，当n时，不存在点P.