Question

【题目】已知抛物线，过点的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．

（1）证明：坐标原点在圆上；

（2）设圆过点，求直线与圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，直线的方程为，圆的方程为．当时，直线的方程为，圆的方程为．

【解析】

（1）设，，，与抛物线方程联立可得，，可证的斜率与的斜率之积为，即可得证明结论.
（2）因为圆的直径为，且过点，由圆的性质得出，结合（1）中的韦达定理，代数化简求得的值，因此得出直线的方程和圆的方程.

解：（1）证明：设，，，

由，可得，则．

又，，故．

因此的斜率与的斜率之积为，

所以，故坐标原点在圆上．

（2）由（1）可得，

，

故圆心的坐标为，圆的半径．

由于圆过点，因此，

故，

即，

由（1）可知，，

所以，解得，或．

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，

圆的半径为，圆的方程为．

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，

圆的半径为，圆的方程为．