Question

已知y=log₄(2x+3-x²).

(1)求定义域;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)求y的最大值,并求取最大值时x的值.

Answer 1

x=1,u取最大值4时,y取最大值1.

解析:

(1)由2x+3-x²>0,解得-1<x<3.

∴f(x)的定义域为{x|-1<x<3}.

(2)令u=2x+3-x²,则u>0,y=log₄u.

由于u=2x+3-x²=-(x-1)²+4,

考虑定义域,可知其增区间是(-1,1］,减区间是［1,3).

又y=log₄u在(0,+∞)上为增函数,故该函数单调递增区间为(-1,1］,减区间为［１,３).

(3)∵u=2x+3-x²=-(x-1)²+4≤4,

∴y=log₄u≤log₄4=1.

故当x=1,u取最大值4时,y取最大值1.