Question

已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l: y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

Answer 1

(1) R的轨迹方程为： x²+y²=a²(y≠0) (2)

解析:

(1)∵点F₂关于l的对称点为Q，连接PQ，

∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|

又因为l为∠F₁PF₂外角的平分线，故点F₁、P、Q在同一直线上，设存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a,则(x₁+c)²+y₁²=(2a)².

又

得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀。 

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)²，∴x₀²+y₀²=a².

故R的轨迹方程为： x²+y²=a²(y≠0)

(2)如右图，∵S_△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB

当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为a².

此时弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，