Question

如图，给出定点A(a，0)  (a>0，a≠1)和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

Answer 1

答案见解析

解析:

解法一：依题意，记B(－1，b) (b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得．                            ①               ——4分

依题设，点C在直线AB上，故有

            ．                    ——6分

由  x－a≠0，得  ．                   ②

将②式代入①代得

，

整理得y²[(1－a)x²－2ax+(1+a)y²]=0．                                  ——9分

若y≠0，则(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0<x<a)；

若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．

综上得点C的轨迹方程为

          (1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0≤x<a)．                ——10分

∵ a≠1，

∴     (0≤x<a)．         ③                ——12分

由此知，当0<a<1时，方程③表示椭圆弧段；

当a>1时，方程③表示双曲线一支的弧段．                             ——14分

解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足．

(ⅰ)当|BD|≠0时，设点C(x，y)，则0<x<a，y≠0．

由CE∥BD得  ．                      ——3分

∵ ∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，

∴ 2∠COA=π－∠BOD．

∵           ——6分

．

∴

整理得(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0<x<a)．                              ——9分

(ⅱ) 当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为 (0，0)，满足上式．

综合(ⅰ)，(ⅱ)，得点C的轨迹方程为

          (1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0≤x<a)．              ——10分

以下同解法一．