Question

如图，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5.

(1)求证：AA₁⊥平面ABC；
(2)求二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值；
(3)证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

(1)见解析   (2)    (3) 见解析

解：(1)证明：因为四边形AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且AA₁垂直于这两个平面的交线AC，所以AA₁⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，
所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(0,3,0)，A₁(0,0,4)，B₁(0,3,4)，C₁(4,0,4)，

＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．
设平面A₁BC₁的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B₁BC₁的一个法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈 n，m〉＝＝.
由题知二面角A₁­BC₁­B₁为锐角，
所以二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值为.
(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC₁上一点，且＝λ.
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0,1]，所以在线段BC₁上存在点D，
使得AD⊥A₁B.此时，＝λ＝.