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D1

 
 如图,长方体中,,点E是AB的中点.

(1)证明:平面

C1

 
(2)证明:

A1

 
(3)求二面角的正切值.

E

 

B1

 

B

 

A

 

C

 

D

 

(1)证明:连结AD1交A1D于O,连结EO,则O为AD1的中点,又因为E是AB的中点,

所以OE∥BD1.

又∵平面A1DE  BD1平面A1DE  ∴BD1∥平面A1DE  ……………………4分

(2)证明:由题可知:四边形ADD1A1是正方形

∴A1D⊥AD1  又∵AB⊥平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1

∴AB⊥AD1  又∵AB平面AD1E,AD1平面A D1E  ABAD1=A

∴A1D⊥平面AD1E  又∵D1E平面AD1E      ∴A1D⊥D1E  ………………………8分

(3)解:在△CED中,CD=2,

CD2=CE2+DE2   ∴CE⊥DE。

又∵D1D⊥平面ABCD  CE平面ABCD  ∴CE⊥D1D

又∵平面D1DE  DE平面D1DE  D1DDE=D

∴CE⊥平面D1DE  又∵D1E⊥平面D1DE,∴CE⊥D1E.

∴∠D1ED是二面角D1—ED—D的一个平面角.

在△D1ED中,∠D1DE=90°,D1D=1, DE=

  ∴二面角D1—ED—D的正切值是  …………12分

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