Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.

(1)求证：EF⊥PB.

(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】⑴见证明；⑵当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值为定值，且定值为.

【解析】

（1）由已知在Rt△ABC中，中EF∥BC，我们可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由线面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由线面垂直的定义，即可得到EF丄PB；

（2）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，结合（I）的结论可得BH⊥平面BCFE，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则我们可以分别求出平面PFC与平面BFC的法向量，代入二面角的向量夹角公式中，求出其余弦值，判断后，即可得到答案．

（1）证明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC

∴EF⊥AB

∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E

∴EF⊥平面PEB

又∵PB平面PEB

∴EF⊥PB

（2）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，

由（1）知，EF⊥PD

∴PD⊥平面BCFE

在平面PEB中过点B作直线BH∥PD

则BH⊥平面BCFE

如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，

设PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4

∴BE=4﹣x，EF=x

在Rt△PED中，∠PED=60°

∴PD=，DE=

∴BD=4﹣x﹣=4﹣

∴C（4，0，0），F（x，4﹣x，0），P（0，4﹣，）

从而=（x﹣4，4﹣x，0），=（﹣4，4﹣，）

设=（a，b，c）是平面PCF的一个法向量，则：

，

即

令b=1，则=（1，1，）是平面PCF的一个法向量，

又∵平面BCF的一个法向量为=（0，0，1）

设二面角P﹣FC﹣B的平面角为θ，则

Cosθ==

∴当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣FC﹣B的平面角的余弦值为定值