Question

已知数列满足,且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，记，证明：.

Answer 1

（1）. （2）=.
（3）=，

<1 。

试题分析：（1）由，知数列是首项为1，公差为1的等差数列，       2分
∴，           3分
∴.                4分
（2）由（1）得=
∴=---------------------------①      5分
-------------------②       6分
①-②得=
∴=.                 8分
（3）由（1）得          10分
=          12分
∴
<1                   14分
点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。“分组求和法”、“错位相消法”、“裂项相消法”是高考常常考到数列求和方法。先求和，再利用“放缩法”证明不等式，是常用方法。