Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈[0，e）时，设函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为g（a），求函数g（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：由题意得f'（x）=（x﹣2）ex+a，

（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=（x﹣2）ex+1，所以f'（2）=1，

又因为f（2）=﹣e2+2，

则所求的切线方程为y﹣（﹣e2+2）=x﹣2，即x﹣y﹣e2=0．

（Ⅱ）设h（x）=f'（x），则h'（x）=（x﹣1）ex＞0对于x＞1成立，

所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，又因为a∈[0，e），

则h（1）=﹣e+a＜0，h（2）=a≥0，

所以h（x）在（1，+∞）上有唯一零点x=m（m∈（1，2]）．

则函数f（x）在（1，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，

因此当a∈[0，e）时，函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（m）．

因为（m﹣2）em+a=0，则﹣a=（m﹣2）em，当a∈[0，e）时，有m∈（1，2]．

所以函数f（x）有最小值f（m）=（m﹣3）em﹣（m﹣2）mem=（﹣m2+3m﹣3）em，（10分）

令φ（m）=（﹣m2+3m﹣3）em（m∈（1，2]），

则φ'（m）=（﹣m2+m）em＜0在（1，2]上恒成立，所以φ（m）在（1，2]上单调递减，

因为φ（2）=﹣e2，φ（1）=﹣e，所以φ（m）的值域为[﹣e2，﹣e），

所以g（a）的值域为[﹣e2，﹣e）

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）设h（x）=f'（x），得到h（x）在（1，+∞）上有唯一零点x=m（m∈（1，2]），根据函数的单调性求出g（a），从而求出g（a）的值域即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．