Question

（2007•宝坻区二模）已知向量

m

=（sinB，1-cosB），且与向量

n

=（2，0）所成角为

π

3

，其中A，B，C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由

m

与

n

的夹角为

π

3

，根据锐角三角函数定义列出关系式，利用半角公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan

π

2

的值，由B的范围，求出

B

2

的范围，利用特殊角的三角函数值求出

B

2

的度数，进而确定出B的度数，得到A+C的度数；
（II）由A+C的度数，表示出C，代入sinA+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，确定出sinA+sinC的范围即可．

解答：解：（I）∵

m

=（sinB，1-cosB），且与向量

n

=（2，0）所成角为

π

3

，
∴

1-cosB

sinB

=tan

π

3

=

3

，
∴tan

B

2

=

3

，
又0＜B＜π，
∴0＜B＜

π

2

，
∴

B

2

=

π

3

，即B=

2π

3

，A+C=

π

3

；…（6分）
（II）由（1）可得sinA+sinC=sinA+sin（

π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA
=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（A+

π

3

），
∵0＜A＜

π

3

，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
∴sin（A+

π

3

）∈（

3

2

，1]，
则sinA+sinC∈（

3

2

，1]，当且仅当A=C=

π

6

时，sinA+sinC=1．…（13分）

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，半角公式，数量积表示两向量的夹角，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．