Question

(1)已知x、y∈R,求证下列不等式：

①x²+y²≥(x+y)²;

②x²+y²≥(x+y)²;

③x²+y²≥(x+y)².

(2)请你根据上述不等式推出更一般的结论，并证明你的结论.

Answer 1

解析：(1)①证明：x²+y²-(x+y)²=(x²-2xy+y²)=(x-y)²≥0,

∴x²+y²≥(x+y)².

②证明：x²+y²-(x+y)²=x²+y²-xy=(x²+y²-2xy)=(x-y)²≥0,∴x²+y²≥(x+y)².

③证明：x²+y²-(x+y)²=x²-xy+y²=(x²-2xy+y²)=(x-y)²≥0,

∴x²+y²≥(x+y)².

(2)由上推出更一般的结论是：已知x、y∈R,a、b都是正数且a+b=1,求证：ax²+by²≥(ax+by)².

证明：由a＞0,b＞0,且a+b=1,可知a=1-b＞0,b=1-a＞0.

∵ax²+by²-(ax+by)²=ax²+by²-ax²-2abxy-b²y²

=a(1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy

=abx²+aby²-2abxy

=ab(x-y)²≥0,

∴ax²+by²≥(ax+by)².