Question

数列{a_n}的首项为1，前n项和是S_n，存在常数A，B使a_n+S_n=An+B对任意正整数n都成立．
（1）设A=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}是等差数列，若p＜q，且

1

Sp

+

1

Sq

=

1

S11

，求p，q的值．
（3）设A＞0，A≠1，且

an

an+1

≤M对任意正整数n都成立，求M的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A=0时，a_n+S_n=B，得出当n≥2时，由条件得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0即

an

an-1

=

1

2

，从而有数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得关于A，B，C的方程，解得A，B，C．从而得出等差数列{a_n}是常数列，结合题中条件得出关于p，q的方程即可求得求p，q的值；
（Ⅲ）当n=1时，得到B=2-A所以a_n+S_n=An+（2-A），当n≥1时，由题意得出数列{a_n-A}是公比为

1

2

的等比数列，下面对A进行分类讨论：①当A＞1时②当0＜A＜1时．利用不等式的放缩即可得出M的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）A=0时，a_n+S_n=B，
当n≥2时，由，{

an+Sn=B an-1+Sn-1=B

得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0
即

an

an-1

=

1

2

，所以，数列{a_n}是等比数列．（4分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得：，
{

a1+S1=A+B a2+S2=2A+B a3+S3=3A+B

，即，{

2=A+B 2d+3=2A+B 5d+4=3A+B

，解得，{

A=1 B=1 d=0

，
即等差数列{a_n}是常数列，所以S_n=n；（7分）
又

1

Sp

+

1

Sq

=

1

S11

，则

1

p

+

1

q

=

1

11

，pq-11p-11q=0?（p-11）（q-11）=11²，
因p＜q，所以

p-11=1 q-11=112

，解得

p=12 q=132

．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，2=A+B，所以B=2-A
所以a_n+S_n=An+（2-A），
当n≥1时，由，{

an+Sn=An+2-A an+1+Sn+1=A(n+1)+2-A

得a_n+1-a_n+（S_n+1-S_n）=A，
即an+1=

1

2

an+

1

2

A
所以an+1-A=

1

2

(an-A)，又a₁-A≠0
即数列{a_n-A}是公比为

1

2

的等比数列，
所以an-A=(a1-A)(

1

2

)n-1，即an=(1-A)(

1

2

)n-1+A，（12分）

an

an+1

=

2nA-2A+2

2nA-A+1

=1+

1-A

(2n-1)A+1

，
①当A＞1时

an

an+1

=1+

1-A

(2n-1)A+1

＜1
且

an

an+1

的值随n的增大而减小，
即

a1

a2

＞

a2

a3

＞

a3

a4

＞…，
所以，M≥

a1

a2

，即M的取值范围是[

2

A+1

，+∞)；（14分）
②当0＜A＜1时

an

an+1

=1+

1-A

(2n-1)A+1

＜2
且

an

an+1

的值随n的增大而增大，
即

a1

a2

＜

a2

a3

＜

a3

a4

＜…＜2，
所以，M≥2，
综上即M的取值范围是[2，+∞）．（16分）

点评：本小题主要考查等比关系的确定、数列与不等式的综合、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．