Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求实数C的值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使f（x）在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由．

Answer 1

分析：1由函数极值点定义解得f'（0）=0．
2假设存在 若求出x的值即证明假设否则不存在

解答：解：（1）由已知得f'（x）=3ax²+2bx+c因为f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
所以x=0是f（x）的一个极值点∴f'（0）=0?∴c=0（4分）
（2）∵c=0，∴f'（x）=3ax²+2bx
令f′(x)=0得3ax2+2bx=0，解得x1=0，x2=-

2b

3a

因为f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，
所以2≤-

2b

3a

≤4?即有-6≤

b

a

≤-3?(8分)
假设存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b，则f'（x₀）=3b即3a

x

2 0

+2bx0-3b=0??所以△=4ab(

b

a

+9)
∵-6≤

b

a

≤-3??∴ab＜0，

b

a

+9＞0，??∴△＜0，x0无解
故不存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b（12分）

点评：第一问较简单．第二问进一步考查极值点和 一元二次方程根存在问题