Question

命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根．命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是 ________

Answer 1

a∈（-∝，0]∪（1，5）∪[6，+∝）
分析：根据命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，我们易判断命题p与命题q一真一假，再由命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根．命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．我们根据二次方程根与系数的关系（韦达定理）及二次函数零点个数的判断方法，得到命题p与命题q对应的参数a的取值范围，分类讨论后，即可得到答案．
解答：由命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根．
结合韦达定理，我们易得：
x₁x₂=a²-6a＜0
0＜a＜6；
由命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．
即方程x²+（a-3）x+1=0有实数根，可得：
△=（a-3）²-4≥0，
∴a≥5或a≤1；
又∵命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，
∴命题p与命题q一真一假，
当命题p真且命题q假时，a∈（1，5）；
当命题q真且命题p假时，a∈（-∞，0]∪[6，+∞），
综上所述：a∈（-∞，0]∪（1，5）∪[6，+∞）
故答案为：a∈（-∞，0]∪（1，5）∪[6，+∞）
点评：掌握简易逻辑的有关知识，学会数形结合的数学思想，理解二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是二次函数的图象与y轴相交于负半轴；而二次函数的图象与x轴有公共点的充要条件是二次方程有根，即△≥0．