Question

【题目】已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.

（1）若是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。

（2）若是“一阶比增函数”，求证：对任意，，总有；

（3）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：关于x的不等式有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得在是增函数，由一次函数性质；（2）由，可得，，两式相加化简即可得结果；（3）取，满足，记，由（2）知，同理，所以一定存在，使得.

（1）由题意得在是增函数.

由一次函数性质知：当时，在（）上是增函数，

（2） 是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又 ，有，

，，

，，

（3）设，其中，因为是“一阶比增函数”，所以当时，.取，满足，记，由（II）知，

同理，

所以一定存在，使得，

所以一定有解.