Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，

g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，

即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．

（2）解：当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1

则h′（x）=3x2+6x﹣9，

令h'（x）=0，

解得：x1=﹣3，x2=1；

∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28

﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28

所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]

【解析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．